一道“希望杯”数学题的七种解法

  一题多解是培养人们开发思维的极好途径,不仅对课本习题可采用此法,对竞赛题也不例外,请看一道竞赛题的几种不同解法,也许对提高我们的解题能力有所启发。

  题目:计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000,最后结果是( )

  (A)0    (B)-1

  (C)1999  (D)-2000

  (第十届“希望杯”初一培训题)

  原题所给的参考答案为:

  原式=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(10-11-12+13)+…+(1994-1995-1996+1997)+(1998-1999)-2000=1+0+0+…+0-1-2000=-2000,故选(D)。

  以上解法我们权且称作不均匀分组法。下面我们再给出几种不同解法。

  解法一:观察法

  ∵1+2-3-4=-4,1+2-3-4+5+6-7-8=-8,1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12=-12,…

  经观察知,每一“片断”的代数和均为参加运算的最后一个数,故原式=-2000,选(D)。

  解法二:小段均匀分组法

  将式中每连续4个数分为一组,则有1+2-3-4=-4,5+6-7-8=-4,9+10-11-12=-4,…,∴2000÷4=500(组),故原式=500×(-4)=-2000.

  解法三:凑零法

  ∵-0+1+2-3=0,-4+5+6-7=0,…,-1996+1997+1998-1999=0,∴原式=0+0+…+0-2000=-2000.

  解法四:大段均匀分组法

  按个位数0,1,2,3,…,8,9分为一大组,进行计算,则有

  1+2-3-4+5+6-7-8+9=-0+1+2-3-4+5+6-7-8+9=1,

  又10-11-12+13+14-15-16+17+18-19=-1

  而-20+21+22-23-24+25+26-27-28+29=1

  另外:30-31-32+33+34-35-36+37+38-39=-1,…

  1990-1991-1992+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999=-1.

  ∴原式=1-1+1-1+…+1-1-2000=0+0+…+0-2000=-2000.

  解法五:添数法

  每一个方框数之和为-2,而这样的方框有1000个,将每个方框中添加2,故有:原式+2000=0.

  ∴原式=-2000.

  解法六:隔数相加法

  在1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+…+1993+1994-1995-1996+1997+1998-1999-2000中

  隔数相加:如1-3=-2,2-4=-2,5-7=-2,…,这样的数对共有1000对,∴原式=-2×1000=-2000.

  解法七:倒序错位相加法

  令1+2-3-4+5+6-7-8+…+1997+1998-1999-2000=T

  ∴有1+2-3-4+5+6-7-8+…+1997+1998-1999-2000

  故2T=3-2003-2003+3=-4000,∴T=-2000.

  以上几种解法各有千秋。繁简程度各异,仅体现了不同的思维方式,也展现了思维的广阔性和灵活性,有助于我们拓展视野。

  (来源:学而思教育)

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